xy是奇函数还是偶函数 二重积分xydxdy为什么是0
简介其实之前的知识里已经有一些关于变量的变换的联系，请参考。麻省理工学院五分钟公开课——多重微积分:极坐标二重积分关于二重积分的知识可以复习一下:麻省理工学院五分钟
简介
其实之前的知识里已经有一些关于变量的变换的联系，请参考。
麻省理工学院五分钟公开课——多重微积分:极坐标二重积分
关于二重积分的知识可以复习一下:
麻省理工学院五分钟公开课——多重微积分:二重积分
麻省理工学院五分钟公开课——多重微积分:二重积分的应用
本节对这个问题进行了更深入的讨论。
知道如何处理直角坐标系下的二重积分，也知道直角坐标系和极坐标的相互转换。一般变量转换比较常见。本节讲的是二重积分下如何做变量变换。
热身:计算椭圆的面积。计算以a，b为半轴的椭圆的面积。
我们可以在直角坐标系中求面积，但是我们发现这并不容易。椭圆是压扁的圆，直接用极坐标不方便。所以，首先，简化一下:
椭圆的参数变换后是单位圆，所以椭圆的面积很容易计算。
变量替换的方法会让问题变得简单。
如果问题更复杂，应该使用更通用的方法。关键问题是:比例因子是什么？dxdy和dudv是什么关系？
线性转换示例:
定义:
一般来说，线性变换的目的要么是简化积分，要么是简化积分极限。(简化被积函数或边界)
单位面积:
明确一点，这个线性变换会用同样的方式变换所有的直线，可以找到一个恒定的比例因子。变换后的四边形不会因为位置的改变而改变。
定义比例因子:不受位置选择的影响。因为这是变量的线性变换。
如图，右边绿色的平行四边形是变换后的区域。
平行四边形的面积可以通过行列式求出:
负号只表示相反的方向。
因此
面积翻了三倍，方向相反。
还有一点要注意的是积分极限也变了。
定义:总体情况:
使用矩阵表达式:
当执行线性变换时，变换矩阵的行列式表示缩放面积系数。(可带入验证)
变量的替代雅可比矩阵(Jocabian)表示
注意这里没有实偏导数，只是一个表示dudv和dxdy成比例关系的表达式。
示例:极坐标回头看看直角坐标系到极坐标的变化是把dxdy改成rdr dθ。现在用新知识解释一下到极坐标的变换。
已知的转换公式为:
极坐标变换的雅可比矩阵的行列式为:
所以:
补充:
如果计算xy到uv的雅可比变换矩阵，这个矩阵和uv到xy的变换矩阵是互逆的。
大结局:一个完整的例子:这是一个很简单的话题，没有变量变换。现在强制一组变量转换。
第一步:找到单位面积元素。
通过雅各比，
第二步:求被积函数。
第三步:确定积分区间。
这一步是最难的。这里有两个想法:
方案一:求xy场中的区间。
先看内部积分的取值范围，也就是U的取值范围，先把V看成一个定值。黄线是V取不同值时的函数轨迹。我们关心的是这些黄线什么时候进入XY的区域，什么时候离开，就是u的积分空，很明显，y=1时有u=v，x=1时有u=1。u的积分区间为[v，1]。
在外积分的取值范围内，xy的最小值为0，最大值在XY区间的右上角为1。所以V的积分区间是[0，1]。
方案二:在uv域中寻找区间。
将xy域中的所有边界更改为uv。
最后得到变量变换后的积分:
