在数字彩票中,存在着一种特殊的数字和数组:反码数
其验证和推算就是很简单,而且可以得到一 一对应的反码数,这里教三种方法,一个比一个简单,看完说不定你很快就学会推出反码数。
我来说说个人体会吧。
虽然现在没有从事数学相关的工作,甚至连曾经学过的数学也差不多忘光了,但依然有些数学证明,至今难忘。而我小时候,第一次品尝到数学这门学科的魅力,正是来自这些巧妙的证明,这让我养成了特别喜欢做证明题的兴趣,它远远比简单的计算要更有意思,常常为了证明一道题而冥思苦想甚至茶饭不思。
引我进入数学证明大门的一道题,其实很简单:
请证明不存在最大的素数
早在公元前300年,欧几里得就证明了这道题,不存在最大的素数。
所谓素数是指大于1,只能被1和自身整除的自然数。
比如2是素数,它也是唯一即是素数又是偶数的数,因为下一个偶数4,就不再是素数,它可以被2整除,能被2整除本来就是偶数的定义。因此,任何大于2的数,如果它是一个素数,那它必须是一个奇数。但当然不是所有奇数都是素数,比如数字9,它是奇数,但它能被3整除,因此它不是一个素数。
注意,所有大于1且非素数的数,一定能被一个素数整除。
比如,所有大于2的偶数都能被2这个素数整除。
至于奇数,要么是素数,要么能被素数整除。
因为非素数的奇数一定是3、5、7、11、13..... 这些素数的倍数,即能被这些素数整除,如果不能被这些素数整除的奇数,那么它自身就一定是个素数呀。
让我们换种方式写一下数字。
1,2,3,2*2,5,2*3,7,2*4,3*3,2*5,11,2*6(3*4),13,2*7,3*5,
要想证明这道题,除了知道素数的定义,还需要知道这个至关重要的基础:
至于奇数,要么是素数,要么能被素数整除。
如果你尝试写下1~10000以内的素数,你会看到一个规律,那就是随着数字增大,素数出现的频率开始降低,毕竟数字越大,它就越有可能被另一个数整除,不是么?后世的数学家们发现,从不大于数字N的范围内随机抽一个数,它恰好是一个数字的概率略为1/lnN(ln 自然对数),当N非常非常非常大的时候,您可以将它简化为1/N,很明显数字越大,你恰好随机抽到一个素数的概率就越小,但注意这个概率将永不等于零,哪怕N趋近于无限大也一样,因为这只是素数出现频率的估计,的确数字越大,素数将越来越稀少,但无论它多么少,素数总是存在着,这就是证明题的魅力,我们很早以前就知道了:不存在最大的素数。
最初,我看到这道题的时候,还是个熊孩子,看到这道题的感觉完全就是懵逼的,一头雾水,狗咬乌龟找不到下嘴的地方,直到我看了答案,才恍然大悟拍案惊奇,从此学会了一种至关重要的思维方式,受益终生,不仅仅是在数学上,也在别的地方有用。
反证法
如何证明不存在最大的素数呢?
如果找不到一种正面的证明方式,那么不妨让我们先假设存在一个最大的素数,然后在此基础上进行推理,看是否会得到一个荒谬的结果,如果能,那就说明我们的假设是错的,即存在一个最大素数的假设是错的,由于答案只能是二选一,没有更多选择,这时候否定了一方,就等于肯定了另一方,因为两者必居其一。要么存在最大的素数,要么不存在,没有第三种可能性。
现在,让我们看看推理过程,别怕,这是小学生都能看得懂的过程,当然,你得先记住什么是素数。让我再重复一下。
大于1且只能被1或自身整除的数,就是素数,大于2的时候,所有的素数都必然是奇数。而奇数,它要么是一个素数,要么能被一个素数整除。
1、假设存在最大的素数,它等于N。
只要我们能推翻这个假设,就意味着不存在最大的素数。
2、那么我们可以利用数字N,构造出一个新的数字M,它=2*3...*N+1
这个加1很重要,是整个证明的精华所在,是回头来看时拍案惊奇之处,毕竟我就是告诉你,这道题要用反证法来证明,你也得找到具体的证明办法才行。
3、注意,新数字M是个奇数,所以M要么是一个素数,要么不是一个素数
3.1 假如数字M是素数,那么M>N,即存在最大素数的假设是个错误,证毕。
3.2 假如数字M不是素数,那么必然存在一个素数X,能整除M。
4、由于M = 1*2*3*....*N +1 ,这就意味着从2开始一直到N,作为除数去除M,都不可能把M整除,即M/(2....N)都不可能是一个整数,总会有一个余数1。因此X必然大于N。由于X是个素数,因此原假设存在最大的素数N,不正确,因为还有比它更大的素数X。按照同样的逻辑,我们可以证明X也不是最大的素数,您只需要把上面的证明流程再循环一次就能得到比X大的素数,无穷无尽。
我来举个实例吧,
假设N=5是最大的素数
那么M=2*3*4*5+1 = 121
121不是一个素数
它可以被素数11整除
但11>5,所以5是最大的素数被否证。
同样11也不是最大的素数
因为2*3******11+1 = 39916801,
这个数本身就是一个素数,它可比11大得多。
这样的过程可以无限循环,但数字迅速增大,超过人力计算的范畴
但证明题的魅力就在于,只要逻辑正确,前提无误,我们就脱离了硬算的限制,进入自由世界。
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