中科院科学智慧火花上的四色问题的理论证明管科会进一步确认吗？

许进老师花了几年时间，获得了几百页的系列成果，很令人期待。也看到几位同行专家的肯定的评价，虽然他们都没有确认四色问题的纯数学证明的完全正确。我作为观察者，有下面几点看法

许进老师花了几年时间，获得了几百页的系列成果，很令人期待。也看到几位同行专家的肯定的评价，虽然他们都没有确认四色问题的纯数学证明的完全正确。我作为观察者，有下面几点看法供各位参考：

许进在2012年给出的数学证明，我虽然没有看到，但有理由寄予期望。显然需要更权威的专家的确认。估计此项工作已经有人在做。

许进把地图四色定理和相应的平面图四色定理的证明，归结为极大平面图（它的结构和着色方法研究）的可着色问题，这本身至少是对于此项问题的推进，而且研究本身也显然是已经对于人类关于图论知识的扩展。值得学习。

我仍然认为按图论处理是一条容易成功的路，主要是因为可以利用许多图论领域的成果（这些成果越来越多），而且大家也会有公认的证明和讨论的规范语言。

并非因为作为图论问题处理太难，而是问题本身难，所以我在前面的讨论中认为你和雷明对于这一点估计不足，我冒昧地建议，还是不要轻易得出“证出来了”的结论为好，即使是找别人看，最好也不要一心要求人家“认可”（许进的证明也还没有得到正式认可！），而是要求改进意见和指出错误和不妥之处，这样就会离成功越来越近。

我想，“科学智慧火花”网站作为一个民间的组织，做到这里，也确实没有办法了。你所提到的中科院的《图论组合网络研究中心》，与正规学术刊物不同，人家也没有义务审查。那么，唯一的出路就是直接投给正规学术刊物了。

为此，我放弃了我不介入四色问题纯数学证明细节的“初衷”，决定看一下你的证明（以前没有看过），很快发现一些应该改进的地方，所以建议你不要急于投稿发表，应该先把证明写好。下面的问题仅供参考

引理1，2是已有的定理，本来不必作为引理，但由于是针对地图的，最好把定理的出处和定理的条件与结论写清，感觉你的叙述很不严谨。

引理3是个比较大的问题，你所给出的不是一个命题（要有条件和结论）！另外，你只是给出对于一个国家C及其邻国的着色方法，而不是对于一个地图（所有国家）的着色方法！其它国家如何着色没有讲。一定要把“圈着色”方法介绍清楚。“圈着色”完成后，地图是什么状态？这些不交代清楚，后面的就看不下去了。后面归纳假设中，“且是在满足引着色模式H下，和四着色要求对k个国家完成着色。”，不知何为，四着色要求对k个国家完成着色”又是指的什么？

另外，这种着色方法是你提出的方法还是别人已经提出的方法？应该说明。

由于你的证明的叙述不够严谨，我猜想其中有两个关键问题，可能没有注意到：

你的“H-模式”N=6时是可行的，但对于N=k（k可能很大！），这时的“H-模式”如何进行？没有说！对于m+1个国家着色后，还有许多国家没有着色，下一次着色的国家及其邻国，如果包含一个或几个已着色的国家，你的“H-模式”如何进行？

另外，我估计你在后面的N=k+1情形的证明中，也有疑问：你令E=P+Q，形成k个国家的地图，按归纳假设，可4-着色，这时的着色是不可随意局部变动的！我估计你为了对于P和Q进行着色，好像对于原来E（=P+Q）的邻国的着色做了变动，这可是有问题的！——被你改变了颜色的国家，为了保证邻国不同色，其邻国的颜色可能也不得不改了吧？！

附：陈陶的“简证”：

三 引理

​引理1 不可能有五个国家处于这样的位置，其中每个国家都和其余四个国家相邻（德.摩根定理。邻国，即有共同边界的国家）。

​引理2 在每一幅地图中，至少有一国的邻国个数不大于五（肯普定理）。

​引理3 以C国为“中心”，设C的邻国个数为m，对这m个国家着色，若m是偶数，则用1与2相间着色；若m是奇数，则用1与2相间着色，最后一国着色3。把这种关于C国的邻国的着色的模式记为H，简称为着色模式H（1、2、3、4为颜色代码，不会混淆。引理3实为“圈”着色最优原则）。

​四 证明四色猜想

​证明：众所周知，对画在一张纸（或地球仪）上的每一幅正规地图着色，要使相邻国着不同颜色，四种颜色是必需的。下面给出其严谨、简明的证明，涉及的示意图集中附于文后。

​Ⅰ若这n﹙n∈N，n≥1﹚个国家是连成一片的。

​①在这n个国家中，若不存在邻国个数小于四的国家，即每个国家的邻国个数都不小于四。由引理1知，满足这个条件的国家个数不小于六。

​（1）当n=6时，每个国家的邻国个数恰好都为四，其中，“中心”A国有四个邻国，与这四个国家都相邻的是R国，如图一。对这六个国家着色，根据引理3，先构建关于A国（可任取）的着色模式H,把A国的四个邻国用1与2相间着色；其次，缘着着色模式H，按符合四着色要求向外围的国家逐个着色，外围国家只有R国，着色3或4；再次，A国着色3或4。这时，四色猜想成立。

​（2）假设n=k（k∈N, k≥6）时，四色猜想都成立，且是在满足引理3的着色模式H下，并按（1）的程序和四着色要求对k个国家完成着色。也就是说，在这幅地图上任取一国作为中心国A，根据引理3，构建关于A的着色模式H，模式中的国家个数是奇数（不小于五）或偶数（不小于四）（这是因为每个国家的邻国个数都不小于四），类似（1）分三步依次对k个国家完成着色，且都符合四着色要求。

​那么，当n=k+1时，因每个国家的邻国个数都不小于四，故，可任取两个相邻国家P和Q，将其视为一个国家E，这时，E国的邻国个数仍不小于四。否则，在这两个国家中必存在邻国个数小于四的国家，这与“每个国家的邻国个数都不小于四”矛盾。这样处理后的国家个数是k，仍满足相应的条件与归纳假设。由引理SPAN>知，满足每个国家的邻国个数都不小于四的条件的正规地图，必有一个国家的邻国个数是四或五，故，不妨取两个相邻的国家P和Q，且P的邻国个数是四或五，将其视为一个国家E，构建关于E的着色模式H。若E的邻国个数是不小于四的偶数，根据归纳假设，k个国家符合四着色要求，且P和Q不妨着色3。将P换为色4，k+1个国家也符合四着色要求。若E的邻国个数是不小于五的奇数，一般可顺利着色，如果遇到P和Q中有一国“无法着色”，本质上是着色模式的换色国的位置设置不当所致（仅示意图的几个国家也无法着色），如图六，可通过调整着色模式予以解决。事实上，ⅰ，若P的邻国个数是四，则Q的邻国个数是不小于五的奇数（含P），将原着色模式中着色3（或4）的国家和P视为一个国家，新构建关于Q的着色模式T，不妨P着色2，如图七，根据归纳假设，k个国家符合四着色要求。这时，原模式中余下的一国显然只能着色3（或4），不妨Q也着色3（或4）。将P换为色4（或3），k+1个国家也符合四着色要求。ⅱ，若P的邻国个数是五，则Q的邻国个数是不小于四的偶数（含P），新构建关于Q的着色模式T，不妨P着色1，如图八，将原模式中余下的两个国家中的任一国和P视为一个国家，根据归纳假设，k个国家符合四着色要求。这时，原模式中最后余下的一国显然只能着色3（或4），不妨Q也着色3（或4）。将P换为色4（或3），k+1个国家也符合四着色要求。这就是说，当国家个数n＝k+1时，四色猜想也成立。到此，归纳完成。

​②在这n个国家中，若存在邻国个数小于四的O国。（1）当n=1、2时，四色猜想显然成立。（2）假设n=k ( k∈N, k≥2)时，四色猜想都成立。那么，当n=k+1时，暂不考虑O国，对其余的k个国家着色，根据归纳假设或①的论证（即除O国外，无论是否有邻国个数小于四的国家），其着色都符合四着色要求，又因为O国的邻国个数小于四，所以，O国的邻国着色不超过三种颜色，从而，O国至少可用第四种颜色着色。这就是说，当n=k+1时，四色猜想也成立。到此，归纳完成。

​Ⅱ若这n（n∈N，n≥2）个国家不是连成一片的。这时，这幅地图的n个国家至少由两片组成，且每一片的国家个数（至少有一个）和位置关系无论怎样，根据Ⅰ的论证每一片的国家着色都符合四着色要求，即四色猜想成立。综上所述，对国家个数为n（n ∈N﹡）的每一幅正规地图，四色猜想都成立；且成为四色定理