老人在完全民事行为能力下私自立遗嘱不需要公证同样有效。根据相关法律规定,无民事行为能力人或者限制民事行为能力人所立的遗嘱无效。遗嘱必须表示遗嘱人的真实意思,受欺诈、
法律依据
《民法典》第一千一百四十三条